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數學與物理打架:將完美的鐵球放在平面上

來源:優蜜蜂作者:葉子時間:2023-06-27 12:02:23
前幾日有朋友問起一個問題:如果把一顆完美的圓鐵球放在一塊完美的平面上,球與平面的接觸點是多大,它會是無限小嗎? 平面上的鐵球 這是個有趣的問題。從數學上講,球體與平

前幾日有朋友問起一個問題:如果把一顆完美的圓鐵球放在一塊完美的平面上,球與平面的接觸點是多大,它會是無限小嗎?

數學物理打架:將一顆完美的鐵球放在平面上,接觸點無限小?

平面上的鐵球

這是個有趣的問題。從數學上講,球體與平面相接觸它就是一個點,點是一維的,表示無窮小。但實際上這不可能,因為無窮小的接觸面積意味著壓強無窮大。所以我們還是得從物理上來分析分析。

學過平面幾何的朋友都知道,當一個圓與直線相切時,直線正好觸及圓周上的一個點。圓周上任意一個點與其左右相鄰的兩個點都不處于同一條直線上。

但是當我們學到這個知識點時,你只能在頭腦里“意會”圓與切線的關系,在紙上無論你怎么畫,圓與直線相接觸的都會是“一條線段”而不是一個點。

數學物理打架:將一顆完美的鐵球放在平面上,接觸點無限小?

數學上的切線點需要“意會”

同樣在數學上,一個球體與平面相接觸,它們接觸的也必然只是一個點,如果你認為那是一個面,說明你的想象力不夠。

數學里許多最基礎的東西都需要靠我們發揮想象,一維的“點”、“線”以及二維的“面”在現實世界中并不存在,至少在物理上你找不到絕對理想化的點線面,這些概念只是我們為了方便計算而創造出來。用筆在紙上戳一個點,或者畫一條線段,老師會教我們說這是“點和線”,但你如果用放大鏡觀察它,便會發現那其實是一個墨跡留下的面;而要是將其放在顯微鏡下,你便能看到被染黑的纖維叢——它們既不是點線,也不是平面,而是“體”。

數學物理打架:將一顆完美的鐵球放在平面上,接觸點無限小?

顯微鏡下鉛筆在紙面畫的線

在物理上,即便是最圓、最光滑、最完美的鐵球,它依然是由一堆鐵原子聚集在一起構成的物體。常溫下,鐵原子之間通過共價鍵形成一個個體心立方晶體,進而組合成鐵。

用最先進的電子顯微鏡觀察鐵球,它的表面也不是光滑無暇,而是由鐵原子核外圍電子云簇擁著形成的一個個“球”。

數學物理打架:將一顆完美的鐵球放在平面上,接觸點無限小?

鐵球表面是緊密排列的原子

由此可見,我們認為“最完美”的鐵球,在物理上也不完美,其表面并非我們想象的那么平滑,而是如同排列整齊的雞蛋一般。

這些由原子“蛋”排列而成的表面無論接觸到什么樣的平面,它們的接觸面必然不是一個“點”,而至少是“三個點”,因為數學老師告訴我們只有三個點才能構成一個穩定的面。

鐵球真能以三個原子作為支撐點穩定放置在一個平面上嗎?還是不行。因為當鐵球與地面接觸時,在引力的作用下,鐵球與地面接觸的地方會發生變形。

有朋友會說,鐵很硬,我們用最硬的金剛石打造一個光滑平面,難道也會變形?當然會。

數學物理打架:將一顆完美的鐵球放在平面上,接觸點無限小?

鉆石表面是由晶胞構成的平面

金剛石由碳原子組成,在金剛石晶體中,每4個碳原子構成穩定的四面體晶胞。即使將鉆石打磨得極其平整,物理結構決定了其表面也是如雞蛋般交錯排列的碳原子。

我們假設有一顆100克的鐵球,它只有三個原子與“光滑”金剛石地面接觸,計算一下接觸點的壓強。

鐵原子的共價半徑只有132pm【皮米,一萬億分之一米】,三個鐵原子所構成的平面面積大約為3.48×10^(-20)平方米,一顆100克的鐵球壓力為0.98牛頓,作用在接觸面的壓強達到2.8×10^(19)Pa,約相當于2.78百萬億個大氣壓!

在如此巨大的壓強下,鐵球表面迅速變形,金剛石與鐵球的接觸面也會發生凹陷,于是二者的接觸面積增大,直到壓強與鐵球自身的彈性模量(211GPa)平衡,這需要接觸面數以十億計的鐵原子共同支撐才行!

數學物理打架:將一顆完美的鐵球放在平面上,接觸點無限小?

鐵球與地面接觸時會發生彈性變形

現在你應該明白了:許多數學上常見的概念在現實中并不存在對應的物體;最完美的鐵球也是由原子構成,它的表面不是絕對平滑;當將鐵球放置在平坦表面,接觸面的原子會因巨大的壓強而移位,鐵球變形,地面也會發生凹陷。于是球體與地面之間不再是一個點,而是一個由原子交錯咬合形成的圓形區域。

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